Initiation à la modélisation des systèmes automatisés

Forme canonique d'une fonction de transfert

On définit la forme canonique d'une fonction de transfert en mettant en facteur le terme de plus bas degré au numérateur et au dénominateur (puissance de p la plus petite).

L'ordre est alors le degré du dénominateur après simplification.

Le gain est la constante apparaissant en facteur de la fraction rationnelle

Fondamental

Forme canonique d'un premier ordre :

Forme canonique d'un second ordre :

Cette forme est fondamentale car elle permet de nombreuses analyses pratiques (analyse temporelle, fréquentielle, dimensionnelle).

ExempleFonction de transfert canonique du moteur

On a montré que la fonction de transfert du moteur est la suivante :

Soit sous forme canonique :

Par analyse dimensionnelle (on peut remarquer que p a pour dimension l'inverse d'un temps), on peut poser et , on a alors

Si on cherche la fonction de transfert , on a :

L'ordre est 3 mais pour caractériser le fait qu'il y a une puissance de p en facteur au dénominateur, on introduit la notion de classe d'une fonction de transfert (valeur de la puissance de p en facteur). Ici la classe est 1.

FondamentalGénéralisation

De façon générale, la forme canonique d'une fonction de transfert est :

avec = ordre du système (degré du dénominateur), = classe du système, K = gain (appelé gain statique lorsque la classe est nulle).

Cette forme est obtenue en mettant en facteur les coefficients de la plus petite puissance de p (généralement p0) du numérateur et du dénominateur

On peut également déterminer les racines du numérateur et dénominateur pour obtenir une forme canonique encore plus utile

On aboutit généralement directement sur cette forme factorisée (grâce au schéma-bloc), il ne reste plus qu'à la mettre sous forme canonique.

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